Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E．

（1）求證：△BEF∽△DBC．；
（2）若⊙O的半徑為3，∠C=32°，求BE的長．（精確到0.01）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB．

∵過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，

∴OB⊥AE，

∴∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．

∵CD為⊙O的直徑

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，

∴∠EBF=∠OBD．

∵OB、OD是⊙O的半徑，

∴OB=OD，

∴∠OBD=∠CDB，

∴∠EBF=∠CDB．

∵OE∥BD，

∴∠EFB=∠CBD

∴△BEF∽△DBC

（2）解：∵由（1）可知△BEF∽△DBC

∴∠OBE=90°，

∴∠E=∠C．

∵∠C=32°，

∴∠E=∠C=32°．

∵⊙O的半徑為3，

∴OB=3．

在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E=32°，OB=3，

∴tanE= ，即tan32°= ，

∴BE= ≈4.80．

【解析】（1）連接OB，由切線的性質得出OB⊥AE，故可得出∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．再由圓周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD．根據等腰三角形的性質可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，進而可得出結論；（2）由（1）可知△BEF∽△DBC，所以∠OBE=90°，∠E=∠C．在Rt△BOE中，利用銳角三角函數的定義即可得出結論．
【考點精析】掌握切線的性質定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．