Question

【題目】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,E是AB邊上一點,G是AD延長線上一點,BE=DG,連接EG,過點C作EG的垂線CH,垂足為點H,連接BH,BH=8.有下列結論:

①∠CBH=45°;②點H是EG的中點;③EG=4;④DG=2.

其中,正確結論的個數是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：連接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，證明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，證明∠GEC=45°，根據四點共圓證明①正確；根據等腰三角形三線合一證明②正確；根據等腰直角三角形的性質和勾股定理求出EG的長，得到③正確；求出BE的長，根據DG=BE，求出BE證明④正確．

詳解：連接CG,CE,作HF⊥BC于F,HO⊥AB于O.

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG,

∴EC=GC,∠GCD=∠ECB.

∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°,

∴∠DCG+∠ECD=∠ECG=90°,

∴△ECG是等腰直角三角形,∴∠CEH=45°.

∵∠EHC=90°,∠CEH=45°,∴△CEH是等腰直角三角形,∴EH=CH,易證△OHE≌△FHC,∴OH=FH,

又∵∠ABC=∠HOB=∠HFB=90°,

∴四邊形OBFH是正方形,

∴∠CBH=45°,①正確.

∵CE=CG,CH⊥EG,

∴點H是EG的中點,②正確.

∵∠HBF=45°,BH=8,

∴FH=FB=4,又BC=6,

∴FC=2,

∴CH==2,

∴EG=2CH=4,③正確.

∵CH=EH=2,∠EHC=90°,

∴EC==4,

∴BE==2,

又DG=BE,∴DG=2,④正確.

故選：D.