Question

16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M、N其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，分別過點(diǎn)M、N做AB的垂線，分別交兩直角邊于點(diǎn)D、E，連接DE，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形DENM總為矩形（點(diǎn)M、N重合除外）．
（1）圖中共有6組不同的相似三角形（不包括點(diǎn)M、N相遇后出現(xiàn)的三角形）；
（2）若點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，求點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度；
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形DENM為正方形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6組不同的相似三角形；
（2）根據(jù)△ADM∽△ABC，AM=t，可得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，即可得出DM=$\frac{4}{3}$t，EN=DM=$\frac{4}{3}$t，再根據(jù)△BEN∽△BAC，得出$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，進(jìn)而得到NB=$\frac{16}{9}$t，據(jù)此可得點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$；
（3）當(dāng)點(diǎn)N、M相遇時(shí)，有$\frac{16}{9}$t+t=5，解得t=$\frac{9}{5}$；當(dāng)點(diǎn)N、M相遇后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N先到達(dá)A點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)，則有$\frac{16}{9}$t=5，解得t=$\frac{45}{16}$，若矩形DENM為正方形，則DM=MN，分兩種情況：①相遇前；②相遇后，分別根據(jù)DM=MN列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）∵四邊形DENM為矩形，
∴DE∥AB，∠AMD=∠ENB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AMD=∠ENB=∠C=90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6組不同的相似三角形，
故答案為：6；

（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形DENM總為矩形，
∴∠AMD=∠BNE=90°，
∴△ADM∽△ABC，
由題得：AM=t，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，
∴DM=$\frac{4}{3}$t，
∴EN=DM=$\frac{4}{3}$t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，
∴NB=$\frac{16}{9}$t，
∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$，
∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為每秒$\frac{16}{9}$個(gè)單位長度；

（3）當(dāng)點(diǎn)N、M相遇時(shí)，有$\frac{16}{9}$t+t=5，
解得t=$\frac{9}{5}$，
當(dāng)點(diǎn)N、M相遇后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N先到達(dá)A點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)，
則有$\frac{16}{9}$t=5，
解得t=$\frac{45}{16}$，
若矩形DENM為正方形，則DM=MN，分兩種情況：
①相遇前：當(dāng)0＜t＜$\frac{9}{5}$時(shí)，DM=$\frac{4}{3}$t，MN=5-t-$\frac{16}{9}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
∴$\frac{4}{3}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
解得t=$\frac{45}{37}$；
②相遇后：當(dāng)$\frac{9}{5}$＜t≤$\frac{45}{16}$時(shí)，DM=$\frac{3}{4}$（5-t），MN=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
∴$\frac{3}{4}$（5-t）=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
解得t=$\frac{105}{37}$＞$\frac{45}{16}$（舍去），
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{45}{37}$時(shí)，矩形DENM為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計(jì)算．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．