Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，OB=1，∠OBC=60°．

（1）如圖1，求直線BC的解析式；

（2）如圖1，線段AC上方拋物線上有一動點P，PD⊥x軸于點H，交線段AC于點D，直線BG∥AC，交拋物線于點G，點F是直線BC上一動點，FE∥BC交AC于點E，點Q是點A關于直線BG的對稱點，連接PE、QF．當線段PD取最大值時，求PE+EF+QF的最小值及點E的坐標；

（3）如圖2，將△BOC繞點O逆時針旋轉至△B′O C′的位置，點B、C的對應點分別為點B′、C′，點B′恰好落在BC上．將△B′O C′沿直線AC平移，得到△B′′O ′ C′′，點B′、C′、O的對應點分別為點B′′、C′′、O ′，連接B ′ B′′、B ′C′′，△B ′B′′C′′是否能為等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的C′′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PE+EF+QF最小值為 +2， E點坐標；（3）能，，，，

【解析】

（1）利用三角函數求出OC的長得到拋物線的解析式，求出圖象與x軸的交點，設直線BC解析式為：，即可將點B、C的坐標代入求出答案；

（2）先求出直線AC的解析式，設點P、D的坐標，根據PD最大求得點P的坐標，利用勾股定理的逆定理及對稱性得到△ABQ是等邊三角形，過點Q作QM⊥x軸于點M，求出點Q的坐標，根據平移規律得到Q ′的坐標，連接P Q ′交AC于點E，再利用勾股定理求出, 得到PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF，由此求出答案；

（3）根據點的位置分四種情況進行求解：①當=時，②當=時，③當時，④當時，分別求出點C′′的坐標.

（1）在△BOC 中，OB=1，∠OBC=60°

∴BC=2，OC=，

∴拋物線解析式為：

令y=0，得，

解之得 ， ，

∴A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

設直線BC解析式為：，經過B（1,0），C（0，），

∴ ,

得,

∴；

（2）設直線AC解析式為：，經過A(－3，0)，B（1,0），得，

設P點坐標為，則D點坐標為，

∴PD=

當 時，PD有最大值，

∴P點坐標為，

在R△AOC中，可以求出AC=2，AB=4 ，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2

由勾股定理逆定理得，可得∠ACB=90°,

可得∠CAB=30°=∠ABG，

由對稱可得，AB=BQ=4, ∠ABQ=30°+30°=60°,

∴△ABQ是等邊三角形，

過點Q作QM⊥x軸于點M，

∴MB=4,且OB=1

∴OM=1,QM=2

∴Q點坐標為（－1，－2）

由題意得，四邊形BCEF是矩形，可得EF=BC=2，

將Q點沿射線EF方向平移2個單位(向左平移1個單位，向上平移個單位)，可得Q ′的坐標為（－2，－）

連接P Q ′交AC于點E，點E即為所求，

P Q ′=

PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF= +2，

直線P Q的解析式為：

聯立，可得E點坐標

（3）存在，

∵A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

∴OA=3，OB=1，OC=，

∴,,

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=30°，AC=2，

∴,

由旋轉得到， ,

∵∥,=，

∴四邊形是平行四邊形，

①將三角形向上平移，當=時，如圖1，延長交y軸于D，

∴四邊形是菱形，

∴,

∵,

∴,

∵,

∴， ，

∴OD=OC+CD=,

∴；

②將三角形向下平移，當=時，如圖2，則四邊形是菱形，

∴

過點作⊥,

∵,

∴=1，,

∴點的橫坐標是，縱坐標是，

∴點的坐標是；

③當時，如圖3，

則，

∵∠ACB=90°，

∴,

延長交y軸于D，

∵,

∴,,

∴OD=OC+CD=,

∴點的坐標是；

④當時，如圖4，過點作⊥,

∴,

∴,

∴點的橫坐標是，縱坐標是，

∴點的坐標是，

綜上，點的坐標是，，，.