Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，AB邊上的高CD=4，點P從點A出發，沿AB以每秒3個單位長度的速度向終點B運動，當點P不與點A、B重合時，過點P作PQ⊥AB，交邊AC或邊BC于點Q，以PQ為邊向右側作正方形PQMN．設正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）直接寫出tanB的值為　 　．

（2）求點M落在邊BC上時t的值．

（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時，求S與t之間的函數關系式．

（4）邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）2； （2）；（3）s=.（4） s．

【解析】試題分析：（1）利用三角函數定義求tanB的值.(2) 當點M落在BC邊上時，由題意得：AP=3t，利用tan∠CAB=求t的值.(3) ①當0＜t≤時，如圖1，正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN，②當N與B重合時,當＜t＜時，如圖3，正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF，③當≤t＜1時，如圖4，正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB，S與t之間的函數.(4) QG=GM， t=s或1s時，邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分．

試題解析：

解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵在Rt△ACD中，AD==3，

∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2，

∴在Rt△BCD中，tan∠B===2；

故答案為2．

（2）當點M落在BC邊上時，如圖1，

由題意得：AP=3t，

tan∠CAB=，

∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，

∴3t+4t+2t=5，

t=.

（3）分三種情況：

①當0＜t≤時，如圖1，正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN，

∴S=PQ2=（4t）2=16t2；

②當N與B重合時，如圖2，

AP=3t，PQ=PB=4t，

∴3t+4t=5，

t=,

當＜t＜時，如圖3，正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF，

③當≤t＜1時，如圖4，正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB，

∴AP=3t，PN=4t，

∴BN=7t﹣5，PB=4t﹣（7t﹣5）=﹣3t+5，

在Rt△APQ中，AQ=5t，

∴QC=5﹣5t，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠ABC，

∴∠QEC=∠ACB，

∴QE=QC=5﹣5t，

∴S=S梯形QPBE=（QE+PB）×PQ，

=（5﹣5t+5﹣3t）×4t=﹣16t2+20t；

綜上所述，S與t之間的函數關系式為：

S=.

（4）如圖2，當t=時，CQ=QG=5﹣5t=，

∴GM=4t﹣=，

∴QG=GM，

∴S△QGB=S△GMB，

∴S梯形GQPB：S△GMB=3：1，

當P與D重合時，t=1，如圖5，

則S△CDB：S四邊形CBNM=×2×4：（42﹣×2×4），

=1：3，

綜上所述，t=s或1s時，邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分．