Question

【題目】如圖（1），OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4，在OC邊上取一點(diǎn)D，將將紙片沿AD翻轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖（2），線(xiàn)段AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A，E重合），自點(diǎn)A沿AE方向做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作ED的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AE平行線(xiàn)交DE于點(diǎn)N．求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）（0，）（2）S矩形PMNE= -t2+t（3）t=或t=2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出CE的長(zhǎng)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再用勾股定理計(jì)算出OD即可；
（2）先判斷出△APM∽△AED，表示出PM，再求出確定出極值；
（3）分兩種情況（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA，利用中位線(xiàn)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5，利用勾股定理和三角形相似求出即可．

（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱(chēng)軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE= ．

∴CE=2．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD= ．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∵AP=t，ED= ，AE=5，

PM= ×=，

∵PE=5﹣t．

∵四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PM×PE=×（5﹣t）=-；

（3）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖1）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點(diǎn)，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線(xiàn)，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當(dāng)t=時(shí)，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖1）

在Rt△AOD中，AD=．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴

∴t=AP=，

∴PM=t=．

∴t=2時(shí)，（0＜2＜5）

綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知，t=或t=2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，