Question

【題目】在△PQN中，若∠P＝∠Q＋α（0°＜α≤25°），則稱△PQN為“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”.

（1）已知△ABC是等邊三角形，判斷△ABC是否為“差角三角形”，并說明理由；

（2）在△ABC中，∠C＝90°，50°≤∠B≤70°，判斷△ABC是否為“差角三角形”，若是，請寫出所有的“差角”并說明理由；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由見詳解；（2）是，當35°≤∠A≤40°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 當50°≤∠B≤70°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.

【解析】

(1)根據差角定義即可判斷；

(2)根據∠B的度數范圍求出∠A的度數范圍，再分別討論兩個角之間是“差角”時的取值范圍，如果符合取值范圍即是“差角”，否則即不是.

（1）△ABC不是“差角三角形”，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60，

∴∠A=∠B+30，

∵,

∴△ABC不是“差角三角形”；

(2)∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵50°≤∠B≤70°,

∴20°≤∠A≤40°,

①∠B是 ∠A的“差角”時，∠B＝∠A＋α，

∵，

∴1045，

不滿足題意，舍去；

②∠A是∠B的“差角”時，∠A＝∠B＋α，

∵，

∴2560，

∵20°≤∠A≤40°,

∴25°≤∠A≤40°,

當∠A＝∠B時，∠A＝35°，

∴當35°≤∠A≤40°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”.

③∠C是∠B的“差角”時，∠C＝∠B＋α，，

∴25，不滿足題意，舍去；

④∠B是 ∠C的“差角”時，∠B＝∠C＋α，，

∴45

∴當50°≤∠B≤70°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.

⑤∠A是∠C的“差角”時，∠A＝∠C＋α，，

∴45，不滿足題意，舍去；

⑥∠C是∠A的“差角”時，∠C=∠A＋α，,

∴10，不滿足題意，舍去；

綜上，當35°≤∠A≤40°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 當50°≤∠B≤70°時，△ABC為“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.