Question

【題目】觀察發現：如圖（1），是的外接圓，點是邊上的一點，且是等邊三角形．與交于點，以為圓心、為半徑的圓交于點，連接．

（1）_____；

（2）線段、有何大小關系？證明你的猜想．

拓展應用：如圖（2），是等邊三角形，點是延長線上的一點．點是的外接圓圓心，與相交于點．如果等邊三角形的邊長為2,請直接寫出的最小值和此時的度數．

Answer 1

【答案】（1）120°;（2）見解析；（3）拓展應用：的最小值為，此時.

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形，可得∠ACB=60°，根據圓周角定理可得∠AOD的度數.（2）根據內角和定理和等邊三角形的性質可得，進而得到，根據邊角邊對應相等可得，則.

拓展應用：以為圓心，以長為半徑作圓，交于，連結，則．當時最小，時，.

解：觀察發現：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠AOD=2∠ACB=120°

故答案為120°．

（2）結論：AE=CF．

理由如下：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

拓展應用：以為圓心，以長為半徑作圓，交于，連結，則由以上結論可得：．

當時最小，，

∵，，

∴

∴，

∴，

∴的最小值為，此時．