Question

【題目】在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4），（1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′.

（1）若拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；

（2）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）M的坐標為（2，6）.

【解析】

（1）由平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點A的坐標是（0，4），可求得點A′的坐標，然后利用待定系數法即可求得經過點C、A、A′的拋物線的解析式；

（2）首先連接AA′，設直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AA′的解析式，再設點M的坐標為：（x，-x2+3x+4），繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案.

（1）∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點A的坐標是（0，4），

∴點A′的坐標為：（4，0），

∵點A、C的坐標分別是（0，4）、（﹣1，0），拋物線經過點C、A、A′，

設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

∴，解得：，

∴此拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+4；

（2）連接AA′，設直線AA′的解析式為：y=kx+b，

∴，解得：，

∴直線AA′的解析式為：y=﹣x+4，

設點M的坐標為：（x，﹣x2+3x+4），

則S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴當x=2時，△AMA′的面積最大，最大值S△AMA′=8，

∴M的坐標為：（2，6）；