Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0）．

（1）求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；

（2）設點P是拋物線上的動點，若在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S，求這三個點的坐標及定值S．

（3）若點F是拋物線對稱軸上的一點，點P是（2）中位于直線AB上方的點，在拋物線上是否存在一點Q，使得P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6，頂點坐標為（2，8）；（2）點P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），S＝；（3）存在，點Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．

【解析】

(1)將交點坐標代入解析式可求解；

(2)設AB上方的拋物線上有點P，過點P作AB的平行線交對稱軸于點C，且與拋物線只有一個交點為P，設區PC解析式與拋物線解析式組成方程組，由△＝0，可求PC解析式，可求點P坐標，由等底等高的三角形面積相等，可得另兩個點所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，可求P'E的解析式，即可求解；

(3)分兩種情況討論，由平行四邊形的性質可求解．

解：(1)∵拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0）．

∴

∴

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+6，

∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，

∴頂點坐標為（2，8）

(2)∵點A（0，6），點B（6，0），

∴直線AB解析式y＝﹣x+6，

當x＝2時，y＝4，

∴點D（2，4）

如圖1，設AB上方的拋物線上有點P，過點P作AB的平行線交對稱軸于點C，且與拋物線只有一個交點為P，

設直線PC解析式為y＝﹣x+b，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一個交點，

∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0

∴b＝，

∴直線PC解析式為y＝﹣x+，

∴當x＝2，y＝，

∴點C坐標（2，），

∴CD＝，

∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3，

∴點P（3，）

∵在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S，

∴另兩個點所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，

∴DE＝CD＝，

∴點E（2，﹣），

設P'E的解析式為y＝﹣x+m，

∴﹣＝﹣2+m，

∴m＝

∴P'E的解析式為y＝﹣x+，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3±3，

∴點P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），

∴S＝×6×（﹣3）＝．

(3)設點Q（x，y）

若PB是對角線，

∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形

∴BP與FQ互相平分，

∴

∴x＝7

∴點Q（7，﹣）；

若PB為邊，

∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，

∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，

∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，

∴點Q（﹣1，）或（5，）；

綜上所述，點Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．