Question

【題目】如圖，已知A(－4，n)、B(3，4)是一次函數y1＝kx＋b的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點，過點D(t，0)（0＜t＜3）作x軸的垂線，分別交雙曲線和直線y1＝kx＋b于P、Q兩點

(1) 直接寫出反比例函數和一次函數的解析式

(2) 當t為何值時，S△BPQ＝S△APQ

(3) 以PQ為邊在直線PQ的右側作正方形PQMN，試說明：邊QM與雙曲線（x＞0）始終有交點

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據點B的坐標求得反比例函數解析式，再根據反比例函數求得點A的坐標，最后根據待定系數法求得一次函數解析式即可；
（2）△APQ與△BPQ有一條公共邊，根據同底的三角形的面積之比等于高之比，列出關于t的方程進行求解；
（3）設直線QM與雙曲線交于C點，根據點P、Q、C三點的坐標，用t的代數式表示出QM-QC，再根據t的取值范圍判斷代數式的值的符號即可．

試題解析：

（1）將B（3，4）代入，得m=3×4=12，

∴反比例函數解析式為，

將A（﹣4，n）代入反比例函數，得n=﹣3，

∴A（﹣4，﹣3）

∵直線y1=kx+b過點A和點B，

∴，解得，

∴一次函數的解析式為y=x+1；

（2）如圖1，∵PQ⊥x軸，

∴以PQ為底邊時，△APQ與△BPQ的面積之比等于PQ邊上的高之比，

又∵，

∴，

∵點D（t，0），A（﹣4，﹣3），B（3，4），

∴，即，

解得；

（3）如圖2，設直線QM與雙曲線交于C點．

依題意可知：P（t，），Q（t，t+1），C（，t+1），

∴QM=PQ=，QC=，

∴QM﹣QC==，

∵0＜t＜3，

∴0＜t（t+1）＜12，

∴＞1，

即QM﹣QC＞0，

∴QM＞QC，

即邊QM與雙曲線始終有交點．