Question

如圖1，邊長均為6的正△ABC和正△A′B′C′原來完全重合．如圖2，現保持正△ABC不動，使正△A′B′C′繞兩個正三角形的公共中心點O按順時針方向旋轉，設旋轉角度為α（α＞0°）．（注：除第 （3）題中的第②問，其余各問只要直接給出結果即可）
（1）當α多少時，正△A′B′C′與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合？
（2）當0°＜α＜360°時，要使正△A′B′C′與正△ABC重疊部分面積最小，α可以取哪些角度？
（3）旋轉時，如圖3，正△ABC和正△A′B′C′始終具有公共的外接圓⊙O．當0°＜α＜60°時，記正△A′B′C′與正△ABC重疊部分為六邊形DEFGHI．當α在這個范圍內變化時，
①求△ADI面積S相應的變化范圍；
②△ADI的周長是否一定？說出你的理由．

Answer 1

解：（1）∵當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合，此時點A′與C重合，旋轉角度α=180°-60°=120°，
∴當α=120°時，正△A'B'C'與正△ABC
出現旋轉過程中的第一次完全重合；


（2）當△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時重疊部分面積最小，
∵由（1）可知當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合時α=60°，
∴當α=60°、180°或300°時重疊部分面積最小；

（3）①∵兩三角形的邊長均為6，
∴當A′B′∥BC時，∠ADI為等邊三角形，
∴ID=2，
∴S_△ADI=ID•AI•sin60°=×2×2×=，
∴△ADI面積S相應的變化范圍為：0＜S≤
②△ADI的周長一定；理由如下：
連接AB′，∵AB=A'B'，
∴=，
∴=，
∴∠IAB'=∠IB'A，
∴IA=IB'，
同理，DA=DA'，
∴△ADI的周長：IA+ID+DA=IB'+ID+DA'=A'B'=6．
分析：（1）因為當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合，故α=120°；
（2）當△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時重疊部分面積最小，由（1）可知當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合時α=60°，所以當α=60°、180°或300°時重疊部分面積最小；
（3）①由于兩三角形的邊長均為6，所以當A′B′∥BC時，△ADI為等邊三角形，所以ID=2，所以S_△ADI=ID•AI•sin60°=×2×2×=，進而可得出結論；
②連接AB′，根據AB=A'B'，可得出=，再根據圓周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，進而可得出結論．
點評：本題考查的是圖形旋轉的性質、等邊三角形的性質、圓心角、弧、弦的關系，涉及面較廣，難度較大．