Question

【題目】如圖1，點P是平面內任意一點，點A，B是上不重合的兩個點，連結．當時，我們稱點P為的“關于的關聯點”．

（1）如圖2，當點P在上時，點P是的“關于的關聯點”時，畫出一個滿足條件的，并直接寫出的度數；

（2）在平面直角坐標系中有點，點M關于y軸的對稱點為點N．

①以點O為圓心，為半徑畫，在y軸上存在一點P，使點P為“關于的關聯點”，直接寫出點P的坐標；

②點是x軸上一動點，當的半徑為1時，線段上至少存在一點是的“關于某兩個點的關聯點”，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①或；②

【解析】

（1）由題意當點P在在上時，點P是的“關于的關聯點”時，則圓心角∠ACB=120°，由此作圖即可；

（2）①設點P（0，y），連接MP，NP，MN交y軸于點Q，由題意及對稱性可得△PMN為等邊三角形，然后根據銳角三角函數值求PQ的長，從而確定點P的坐標；

②考慮臨界情況，即恰好M、N點為⊙D的關聯時，確定點D的坐標，從而求其取值范圍．

解：（1）補全圖形

由題意可知，∠APB=60°，點P在圓上

∴∠ACB=120°

（2）①設點P（0，y），連接MP，NP，MN交y軸于點Q

由題意可知，∠MPN=60°

又∵點M關于y軸的對稱點為點N

∴△PMN為等邊三角形

∴在Rt△MPQ中，

，解得：或0

∴或

②當點D位于M點右側且點M在圓上時，此時m有最大值，

由題意可知，此時∠OMD=60°，∴m=2

當點D位于N點左側且點N在圓上時，此時m有最小值，

由題意可知，此時∠OMD=60°，∴m=-2

∴