Question

【題目】如圖1，矩形OABC的頂點O是直角坐標系的原點，點A、C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（8，4），將矩形OABC繞點A順時針旋轉得到矩形ADEF，D、E、F分別與B、C、O對應，EF的延長線恰好經過點C，AF與BC相交于點Q．

（1）證明：△ACQ是等腰三角形；

（2）求點D的坐標；

（3）如圖2，動點M從點A出發在折線AFC上運動（不與A、C重合），經過的路程為x，過點M作AO的垂線交AC于點N，記線段MN在運動過程中掃過的面積為S；求S關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）想辦法證明∠QCA＝∠QAC即可解決問題．

（2）設CQ＝AQ＝x，利用勾股定理求出x，如圖1中，過點D作DH⊥x軸于H．利用相似三角形的性質求出AH，DH即可解決問題．

（3）分兩種情形：①當0＜x≤8時，如圖2中，延長MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．利用相似三角形的性質求出AH，MN即可解決問題．②當8＜x＜12時，如圖3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，設MN交BC于R．利用相似三角形的性質求出MN，AR即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形OABC，四邊形FADE都是矩形，

∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，

∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，

∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），

∴∠CAO＝∠CAF，

∵BC∥OA，

∴∠BCA＝∠CAO，

∴∠BCA＝∠ACF，

∴QC＝QA，

∴△ACQ是等腰三角形．

（2）解：設CQ＝AQ＝x，

∵B（8，4），

∴BC＝8，AB＝4，

在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2，

∴x2＝（8﹣x）2+42，

∴x＝5，

∴BQ＝3，

如圖1中，過點D作DH⊥x軸于H．

∵∠QAD＝∠BAH＝90°，

∴∠QAB＝∠DAH，

∵∠B＝∠AHD＝90°，

∴△ABQ∽△AHD，

∴，

∴，

∴AH＝，DH＝，

∴OH＝OA+AH＝8+＝，

∴D（）．

（3）①當0＜x≤8時，如圖2中，延長MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．

∵QJ∥AB，

∴，

∴，

∴QJ＝，

∵MN∥QJ，

∴△AMN∽△AQJ，

∴，

∴

∴MN＝，AH＝，

∴S＝MNAH＝·x·＝x2．

②當8＜x＜12時，如圖3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，設MN交BC于R．

∵FK∥AB，JQ∥AB，

∴FK∥JQ，

∴△AQJ∽△AFK，

∴，

∴，

∴FK＝4，BT＝，

∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝，

∵MN∥FK，

∴△CMN∽△CFK，

∴，

∴，

∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x），

∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝．

綜上所述，S＝．