Question

【題目】在平面內(nèi)，對(duì)于給定的，如果存在一個(gè)半圓或優(yōu)弧與的兩邊相切，且該弧上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱這樣的弧為的內(nèi)切弧．當(dāng)內(nèi)切弧的半徑最大時(shí)，稱該內(nèi)切弧為的完美內(nèi)切弧．（注：弧的半徑指該弧所在圓的半徑）

在平面直角坐標(biāo)系中，．

（1）如圖1，在弧，弧，弧中，是的內(nèi)切弧的是____________；

（2）如圖2，若弧G為的內(nèi)切弧，且弧G與邊相切，求弧G的半徑的最大值；

（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)，連接．

①直接寫出的完美內(nèi)切弧的半徑的最大值；

②記①中得到的半徑最大時(shí)的完美內(nèi)切弧為弧T．點(diǎn)P為弧T上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交x軸和直線于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，直接寫出線段長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）弧，弧．（2）3． （3）①． ②且．

【解析】

（1）根據(jù)內(nèi)切弧定義即可解答；

（2）由內(nèi)切弧定義可知弧G所在圓的圓心上的角平分線上，弧G的半徑最大時(shí)其圓心I在的邊上．再由勾股定理即可計(jì)算出半徑最大值；

解：（1）由圖可知，弧是半圓，弧是優(yōu)弧，它們與的兩邊相切，且該弧上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，故弧，弧是的內(nèi)切弧；而弧只與一邊相切，而且是劣弧，故弧不是的內(nèi)切弧；，

弧，弧．

（2）∵弧G為的內(nèi)切弧，且弧G與邊相切，

∴弧G所在圓的圓心上的角平分線上．

易知若弧G的半徑最大，則弧G所在圓的圓心I在的邊上．設(shè)弧G與邊相切分別切于點(diǎn)O，H．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

在中，，即．

解得．

（3）①的完美內(nèi)切弧半徑的最大值為．

理由如下：由內(nèi)切弧定義可知，內(nèi)切弧的圓心在相切兩邊的夾角的角平分線上，而完美內(nèi)切弧的圓心在最大內(nèi)角的角平分線與其對(duì)邊的交點(diǎn)上，

動(dòng)點(diǎn)在 ，

∵，

則有垂直平分OB，
∴MO=MB，
∴MB+MA=MO+MA．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)B、M、A三點(diǎn)共線時(shí)，即M點(diǎn)在AB的中點(diǎn)(4,3)，MO+MA取到最小值，最小值為AB長(zhǎng)=10．

I.當(dāng)內(nèi)切弧與OM、MA相切時(shí)，如圖：

設(shè)的完美內(nèi)切弧半徑為r，
∵ =12，且，
∴
∴．
當(dāng)MO+MA取最小值10時(shí)，此時(shí)r取到最大值，最大值為．

II.當(dāng)完美內(nèi)切弧與OM、OA相切時(shí)，或與MA、OA相切時(shí)，相切兩邊的和為：，，

同理可知，這兩種情況的內(nèi)切弧的半徑最大值小于完美內(nèi)切弧與OM、MA相切時(shí)的半徑．

綜上所述：的完美內(nèi)切弧是內(nèi)切弧與OM、MA相切時(shí)的半徑的最大值為

②線段長(zhǎng)度的取值范圍是且．

由①可知：的完美內(nèi)切弧的圓心O坐標(biāo)為（4,0），半徑為，

由圖解3-2-1，解3-2-2，解3-2-3，解3-2-4，可知，當(dāng)DE經(jīng)過切點(diǎn)Q的時(shí)候，DF最大為3；

由圖解3-2-5可知，當(dāng)DE與半圓右側(cè)相切的時(shí)候，DF最小為 ；

而當(dāng)ED經(jīng)過AB與半圓相切的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)不存在，DF= ,

∴線段長(zhǎng)度的取值范圍是且．