Question

【題目】如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，0)和B(0，4)．

(1)求拋物線(xiàn)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)E(x，y)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)條件下，是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝(x﹣)2﹣；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，﹣)；(2) S＝﹣4(x﹣)2+25(1＜x<6)；(3)不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．

【解析】

（1）已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線(xiàn)，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線(xiàn)的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
(3)如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-3）將其代入拋物線(xiàn)的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn)．

解：(1)∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，

∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y＝a(x﹣)2+k，

把A(6，0)，B(0，4)代入可得， 解得

∴拋物線(xiàn)解析式為，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，﹣)；

(2)∵點(diǎn)E(x，y)在第四象限，

∴y＜0，

∴﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離，

令

解得：

即拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：則1＜x＜6；

∵OA是平行四邊形OEAF的對(duì)角線(xiàn)，

∴S＝2S△OAE＝2××OA|y|＝﹣6y＝﹣4(x﹣)2+25，其中1＜x＜6；

(3)當(dāng)OA⊥EF且OA＝EF時(shí)，四邊形OEAF是正方形，

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(3，﹣3)，而坐標(biāo)為(3，﹣3)的點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上，

故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．