Question

【題目】（1）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：線段與的數量關系為________；直線與所夾銳角的大小為________．

（2）如圖②，將正方形繞點順時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．

（3）把圖②中的正方形都換成菱形，且，如圖③，直接寫出______．

Answer 1

【答案】（1）①，②45°；（2）仍然成立，見解析；（3）

【解析】

（1）根據正方形的性質即可得出答案；

（2）過作，且，連接，，并延長交、交于點，證明，接著證明四邊形是平行四邊形，即可得出答案；

（3）過作∠GDH=120°，且，連接，，證明，接著證明四邊形是平行四邊形，再過點D作DM⊥GH于點M，證出GM=GH=CF，DM=DG，再利用勾股定理計算即可得出答案．

解：（1）①線段與的數量關系為；

②直線與所夾銳角的度數為45°．

連接AF，根據正方形的性質可得A、F、C三點共線，∠CAD=45°

∵AF=AG，AC=AD

∴CF=AC-AF=(AD-AG)=DG

（2）仍然成立，證明如下：

過作，且，連接，，并延長交、交于點

∵四邊形是正方形

∴，

∵

∴

∴

∴

在和中，

∴，

∴，

∵四邊形是正方形

∴，，∴

∵，

∴

∴，

，

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴，

在中，

∴，

即，

∵

∴，即直線與所夾銳角的度數為45°；

（3）過作∠GDH=120°，且，連接，

∵四邊形是菱形 ，

∴，∠ADC=120°

∵∠GDH=120°

∴

∴

在和中，

∴，

∴，

∵四邊形是菱形

∴，，

∴

∵，

∴

∴，

，

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴，

過點D作DM⊥GH于點M

∴GM=GH=CF，DM=DG

在Rt△DGM中，

∴GM=DG，

∴DG：CF=．