Question

【題目】探究題：已知：如圖,,.求證：.

老師要求學生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對圖形進行變形，繼續做拓展探究，看看有什么新發現？

（1）小穎首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質，小穎用到的平行線性質可能是 .

（2）接下來，小穎用《幾何畫板》對圖形進行了變式，她先畫了兩條平行線，然后在平行線間畫了一點，連接后，用鼠標拖動點，分別得到了圖，小穎發現圖正是上面題目的原型，于是她由上題的結論猜想到圖和圖中的與之間也可能存在著某種數量關系.于是她利用《幾何畫板》的度量與計算功能，找到了這三個角之間的數量關系.

請你在小穎操作探究的基礎上，繼續完成下面的問題：

（ⅰ）猜想圖中與之間的數量關系并加以證明；

（ⅱ）補全圖，直接寫出與之間的數量關系： .

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行同旁內角互補；（2）（ⅰ），見解析；（ⅱ）見解析，.

【解析】

（1）根據兩直線平行同旁內角互補即可解決問題；
（2）（ⅰ）猜想∠BDF=∠B+∠F．過點D作CD∥AB．利用平行線的性質即可解決問題；
（ⅱ）∠BDF與∠F之間的數量關系是∠F=∠B+∠BDF．利用平行線的性質已經三角形的外角的性質即可解決問題；

解：（1）∵AB//CD，

∴∠B+∠BDC=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，

∵CD//EF(已知)，
∴∠CDF+∠DFE=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，
∴∠B+∠BDF+∠F=∠B+∠BDC+∠CDF+∠DFE=360°．

故答案為:兩直線平行同旁內角互補．

(2)（ⅰ）猜想

證明：過點作，

,

（ⅱ）補全圖形如圖所示：∠B、∠BDF與∠F之間的數量關系是∠F=∠B+∠BDF．

理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠B+∠BDF．
故答案為∠F=∠B+∠BDF．