Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，AE的垂直平分線分別交AD，BC及AB的延長線于點F，G，H，連接HE，HC，OD，連接CO并延長交AD于點M．則下列結論中：

①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AHDE；⑤GO+BH=HC

正確結論的個數有（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】B

【解析】

建立以B點位坐標原點的平面直角坐標系，分別求出相應直線的解析式和點的坐標，求出各線段的距離，可得出結論.

解：如圖，

建立以B點為坐標原點的平面直角坐標系，設正方形邊長為2，可分別得各點坐標，

A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E為CD的中點,可得E點坐標（2，1），可得AE的直線方程，，由OF為直線AE的中垂線可得O點為，設直線OF的斜率為K，得，可得k=2,同時經過點O(),可得OF的直線方程：

，可得OF與x軸、y軸的交點坐標G(,0),H(0,),及F(,2),

同理可得：直線CO的方程為：，可得M點坐標（，2），

可得：①FG=,

AO= =,

故FG=2AO，故①正確；

②：由O點坐標，D點坐標（2，2），可得OD的方程：，

由H點坐標(0,)，E點坐標（2，1），可得HE方程：，

由兩方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，

故②錯誤；

③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），

可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,

故=，

故③正確；

④：由O點坐標，E（2，1），H(0,)，D(2,2),

可得：,

AH=,DE=1,有2OE2=AHDE，

故④正確；

⑤：由G(,0)，O點坐標，H(0,)，C(2,0),

可得：,

BH=,HC=,

可得：GO≠BH+HC,

故正確的有①③④，

故選B.