Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PH⊥EO，垂足為H．設PH的長為l，點P的橫坐標為m，求l與m的函數關系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；

（3）如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+，;（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點坐標，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）分AC為邊和AC為對角線，當AC為邊時，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點的橫坐標，可求得M點的坐標；當AC為對角線時，設AC的中點為K，可求得K的橫坐標，從而可求得M的橫坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標．

試題解析：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）在中，令y=2可得2=，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直線OE解析式為y=﹣x，由題意可得P（m，），∵PG∥y軸，∴G（m，﹣m），∵P在直線OE的上方，∴PG=﹣（﹣m）==，∵直線OE解析式為y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= []=，∴當m=時，l有最大值，最大值為；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設AC交對稱軸于點L，則∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中，∵∠MFN=∠AOC，∠FNM=∠ACO，MN=AC，∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴點M到對稱軸的距離為3，又，∴拋物線對稱軸為x=﹣1，設M點坐標為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，當x=2時，y=﹣，當x=﹣4時，y=，∴M點坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當AC為對角線時，設AC的中點為K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵點N在對稱軸上，∴點N的橫坐標為﹣1，設M點橫坐標為x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，∴M（﹣2，2）；

綜上可知點M的坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．