Question

已知⊙與⊙相交于、兩點，點在⊙上，為⊙上一點（不與，，重合），直線與⊙交于另一點。

（1）如圖（1），若是⊙的直徑，求證：；（4分）
（2）如圖(2)，若是⊙外一點，求證：；（4分）
（3）如圖（3），若是⊙內一點，判斷（2）中的結論是否成立。（3分）

Answer 1

（1）（2）見解析；（3）成立

試題分析：（1）如圖①，連接，，根據直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得為⊙的直徑，又，為的中點，即可證得結論；
（2）如圖②，連接，并延長交⊙與點，連，根據圓內接四邊形的對角互補，可得，再根據同弧所對的圓周角相等可得，即得，從而證得結論；
（3）如圖③，連接，并延長交⊙與點，連，由，，可得，即得，從而證得結論；      
（1）如圖①，連接，
∵為⊙的直徑     
∴
∴為⊙的直徑     
∴在上
又，為的中點
∴△是以為底邊的等腰三角形
∴；
（2）如圖②，連接，并延長交⊙與點，連
∵四邊形內接于⊙   
∴
又∵               
∴
∴
又為⊙的直徑          
∴
∴；
（3）如圖③，連接，并延長交⊙與點，連
∵
又
∴      
∴       
又
∴.
點評：解答本題的關鍵是掌握直角所對的圓周角是直角，圓周角的所對的弦是直徑，圓內接四邊形的對角互補，同弧所對的圓周角相等。