Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D是軸正半軸上一動點(diǎn)（OD＞1）,連結(jié)BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交軸于點(diǎn)N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．
（1）試找出圖1中的一個損矩形；
（2）試說明(1)中找出的損矩形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；
（3）隨著點(diǎn)D位置的變化，點(diǎn)N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請說明理由；
（4）在圖2中，過點(diǎn)M作MG⊥軸于點(diǎn)G，連結(jié)DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

(1)四邊形ABMD為損矩形；（2）見解析；（3）（0，-1）；（4）(3，0)

試題分析：（1）根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；
（2）證明四邊形BADM四個頂點(diǎn)到BD的中點(diǎn)距離相等即可；
（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進(jìn)而得到OA=ON，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．
(1)四邊形ABMD為損矩形；
(2)取BD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH
∵四邊形OABC，BDEF是正方形
∴△ABD，△BDM都是直角三角形
∴HA=BD   HM=BD
∴HA=HB=HM=HD=BD
∴損矩形ABMD一定有外接圓
(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H
∴MAD =MBD    
∵四邊形BDEF是正方形
∴MBD=45°
∴MAD=45°
∴OAN=45°
∵OA=1 
∴ON=1   
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）
(4) 延長AB交MG于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥軸于點(diǎn)Q
設(shè)MG=，則四邊形APMQ為正方形
∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1
∵△MBP≌△MDQ
∴DQ=BP=CG=-2
∴MN²
ND²
MD²
∵四邊形DMGN為損矩形
∴
∴ 
∴=2.5或=1(舍去)     
∴OD=3  
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0).
點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質(zhì)，