Question

如圖1，在?ABCD中，∠BCD的平分線交直線AD于點F，∠BAD的平分線交DC延長線于E．
（1）在圖1中，證明AF=EC；
（2）若∠BAD=90°，G為CF的中點（如圖2），判斷△BEG的形狀，并證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，∠BAD=∠BCD，
∵∠BCD的平分線CF，∠BAD的平分線AM，
∴∠4=

1

2

∠BAD，∠2=∠3=

1

2

∠BCD，
∴∠2=∠3=∠4，
∵BC∥AD，
∴∠1=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AM∥CF，
即AE∥CF，AE≠CF，
∴四邊形AECF是梯形，
∵AM∥CF，
∴∠3=∠E=∠4，
∴梯形AECF是等腰梯形，
∴AF=CE；
（2）△BEG是等腰直角三角形，
證明：連接AG，過G作GN∥BC交AB于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠CBN=90°，
∴∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，
∵G為CF的中點，
∴N為AB中點，
即NG是AB的垂直平分線，
∴BG=AG，
∴∠BGN=∠AGN，
∵NG∥AD，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴∠ECG=∠AFC=90°+45°=135°，
在△AFG和△ECG中
∵

AF=CE ∠AFG=∠ECG FG=CG

，
∴△AFG≌△ECG（SAS），
∴AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，
∵∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN=∠GEC，
∵∠GAF+∠AGF=180°-135°=45°，
∴∠EGC+∠BGF=2（∠GAF+∠AGF）=90°
∴△BEG是等腰直角三角形．