Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上．

（1）若點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接，若點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；

（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且交直線于點(diǎn)．若，，，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）；（3）．

【解析】

（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線y=x求得a的值；
（2）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，構(gòu)造直角△BEC，利用勾股定理求得BE的長(zhǎng)度，然后由BE=BO-OE列出關(guān)于t的方程，通過解方程得到答案；
（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m），AM=n．推知Rt△OMD是等腰直角三角形，故DM=AM-AD，即m=n-
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B，點(diǎn)C分別作BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形：△ABE≌△CAF．結(jié)合該全等三角形的性質(zhì)知DF=BE-AD=m-．在Rt△DCF中，利用勾股定理求得CD= =，根據(jù)題意列出不等式并解答；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，同理可求，DF=m+，CD=m+2，由1≤CD≤2，得到不等式并解答．

（1）把代入，得

，

解得．

所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．

（2）點(diǎn)在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如圖1，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，

∴在中，，，

∴．

又∵，

∴，

∴在中，，

∴，

∴．

又∵，且點(diǎn)，

∴，

解得．

∴．

（3）∵，，且，

∴點(diǎn)在直線上方．

∵軸于點(diǎn)，

且交直線于點(diǎn)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

∴在中，，，

∴，

∵，，

∴，即．

如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)，點(diǎn)分別作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，，．

∵，

∴，．

∵中，，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，且，

∴．

在中，，

∴，

∴

．

∵，即，

∴．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

同理可求，，，

由，

求得，不符合題意．

綜上，．