Question

【題目】已知組正整數：第一組：3，4，5；第二組：8，6，10；第三組：15，8，17；第四組：24，10，26；第五組：35，12，37；第六組：48，14，50；…

（1）是否存在一組數，既符合上述規律，且其中一個數為71？若存在，請寫出這組數；若不存在，請說明理由；

（2）以任意一個大于2的偶數為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反例．

Answer 1

【答案】（1）不存在，見解析；（2）以任意一個大于2的偶數為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數，見解析.

【解析】

（1）根據題意可知，這n組正整數符合規律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m為整數）．分三種情況：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；進行討論即可求解；
（2）由于（m2-1）2+（2m）2=m4+2m2+1=（m2+1）2，根據勾股定理的逆定理即可求解．

（1）不存在一組數，既符合上述規律，且其中一個數為71．

理由如下：

根據題意可知，這組正整數符合規律，，（，且為整數）．

若，則，此時不符合題意；

若，則，此時不符合題意；

若，則，此時不符合題意，

所以不存在一組數，既符合上述規律，且其中一個數為71．

（2）以任意一個大于2的偶數為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數．

理由如下：

對于一組數：，，（，且為整數）．

因為

所以若一個三角形三邊長分別為，，（，且為整數），則該三角形為直角三角形．

因為當，且為整數時，表示任意一個大于2的偶數，，均為正整數，

所以以任意一個大于2的偶數為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數．