Question

【題目】如圖，已知平面直角坐標系，兩點的坐標分別為．

（1）若是軸上的一個動點，則當_______時，的周長最短；

（2）若是軸上的兩個動點，則當_______時，四邊形的周長最短；

（3）設分別為軸和軸上的動點，請問：是否存在這樣的點， 使四邊形的周長最短？若存在，請求出，_________，________（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在使四邊形周長最短的點，．

【解析】

（1）根據題意，設出并找到點B(4，-1)關于x軸的對稱點坐標為(4，1)，進而可得直線AB'的解析式，然后得出答案；

（2）過A點作AE⊥x軸于點E且延長AE，取A'E= AE作點F(1，-1)，連接A'F利用兩點，間線段最短，可知四邊形A BCD的周長最短等于A'F+CD + AB從而確定C點的坐標值；

（3）存在使四邊形ABMN的周長最短的點M，N，作A關于y軸的對稱點A'，作B關于x軸的對稱點是AF連接A'B'與x軸，y軸的交點即為點M，N，所以A'(-2，-3)， B'(4，1)，所以直線A'B'的解析式為： ，從而得到m，n．

(1)設點B(4，-1)關于x軸的對稱點坐標為(4，1)，

設直線AB'的解析式為y= kx+ b,

把A(2， -3)，B'(4，1)代入得：

，

解得: ，

所以y=2x- 7，

令y= 0得 ，

即；

（2）過A點作AE⊥x軸于點E且延長AE，取A'E= AE，作點F(1，-1)，

連接A'F，則A'(2，3)，

直線A'F的解析式為

即y=4x- 5，

∵C(a，0)，且點C在直線A'F上，

∴；

(3)存在使四邊形ABMN的周長最短的點M，N；

作A關于y軸的對稱點A'，作B關于x軸的對稱點B'，連接A'B'與x軸，y軸的交點即為點M，N，設直線A'B'的解析式為：；

∴A'(-2，-3)， B'(4，1)，

∴直線A'B'的解析式為： ，

從而得到 ，

∴m= ，n ．