Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E為CD上一點，且DE＝1，F為射線BC上一動點，過點E作EG⊥AF于點P，交直線AB于點G．則下列結論中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，則PC＝PE；③當∠CPF＝45°時，BF＝1；④PC的最小值為﹣2．其中正確的有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AE，過E作EH⊥AB于H，則EH＝BC，根據全等三角形的判定和性質定理即可得到AF＝EG，故①正確；根據平行線的性質和等腰三角形的性質即可得到PE＝PC；故②正確；連接EF，推出點E，P，F，C四點共圓，根據圓周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正確；取AE 的中點O，連接PO，CO，根據直角三角形的性質得到AO＝PO＝AE，推出點P在以O為圓心，AE為直徑的圓上，當O、C、P共線時，CP的值最小，根據三角形的三邊關系得到PC≥OC﹣OP，根據勾股定理即可得到結論．

連接AE，過E作EH⊥AB于H，

則EH＝BC，

∵AB＝BC，

∴EH＝AB，

∵EG⊥AF，

∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠EGH＝∠AFB，

∵∠B＝∠EHG＝90°，

∴△HEG≌△ABF（AAS），

∴AF＝EG，故①正確；

∵AB∥CD，

∴∠AGE＝∠CEG，

∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，

∵∠BAF＝∠PCF，

∴∠AGE＝∠PCE，

∴∠PEC＝∠PCE，

∴PE＝PC；故②正確；

連接EF，

∵∠EPF＝∠FCE＝90°，

∴點E，P，F，C四點共圓，

∴∠FEC＝∠FPC＝45°，

∴EC＝FC，

∴BF＝DE＝1，

故③正確；

取AE 的中點O，連接PO，CO，

∴AO＝PO＝AE，

∵∠APE＝90°，

∴點P在以O為圓心，AE為直徑的圓上，

∴當O、C、P共線時，CP的值最小，

∵PC≥OC﹣OP，

∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣AE，

∵OC＝＝，AE＝＝，

∴PC的最小值為﹣，故④錯誤，

故選：C．