Question

【題目】在中，，過點作直線，將繞點順時針旋轉得到（點的對應點分別為）．

（1）問題發現如圖1，若與重合時，則的度數為____________；

（2）類比探究：如圖2，設與BC的交點為，當為的中點時，求線段的長；

（3）拓展延伸在旋轉過程中，當點分別在的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）

【解析】

（1）由旋轉可得：AC=A'C=2，進而得到BC=，依據∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根據M為A'B'的中點，即可得出∠A=∠A'CM，進而得到，依據tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依據S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

解：（1）由旋轉可得：，

，

，

，，

，

，

，

．

（2）為的中點，

,

山旋轉可得，，

，

，

，

，

，

；

（3）四邊形

四邊形最小即最小，

，

取的中點，，，即，

當最小時，最小，，即與正合時,最小，

，，

的最小值， 四邊形=．