Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當AC=2AB時，四邊形EGCF為矩形；理由見解析

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，證出BE=DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；
（2）證出AB=OA，由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位線定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵點E，F分別為OB，OD的中點，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：當AC=2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中點，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位線，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四邊形EGCF是平行四邊形，
∵∠OEG=90°，
∴四邊形EGCF是矩形．