Question

【題目】如圖，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，點C在OA上，AC=1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數（k≠0）的圖象經過圓心P，則k=________________。

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設⊙P與邊AB，AO分別相切于點E、D，連接PE、PD、PA，用面積法可求出⊙P的半徑，然后通過三角形相似可求出CD，從而得到點P的坐標，就可求出k的值．

詳解：設⊙P與邊AB，AO分別相切于點E、D，連接PE、PD、PA，如圖所示．

則有PD⊥OA，PE⊥AB．

設⊙P的半徑為r，

∵AB=5，AC=1，

∴S△APB= ABPE=r，S△APC=ACPD=r．

∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，

∴OB=3．

∴S△ABC=ACOB=×1×3=．

∵S△ABC=S△APB+S△APC，

∴=r+r．

∴r=．

∴PD=．

∵PD⊥OA，∠AOB=90°，

∴∠PDC=∠BOC=90°．

∴PD∥BO．

∴△PDC∽△BOC．

∴．

∴PDOC=CDBO．

∴×（4-1）=3CD．

∴CD=．

∴OD=OC-CD=3-=．

∴點P的坐標為（，）．

∵反比例函數y=（k≠0）的圖象經過圓心P，

∴k=×=．

故答案為：．