Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB經過點O，CD是弦，且CD⊥AB于點F，連接AD，過點B的直線與線段AD的延長線交于點E，且∠E=∠ACF．

（1）若CD=2， AF=3，求⊙O的周長；

（2）求證：直線BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）8π；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OC．設半徑為r，在Rt△OFC中利用勾股定理即可解決問題．
（2）只要證明CD∥EB，即可得到∠AFD＝∠ABE＝90°，由此可以得出結論．

解：（1）連接OC．設半徑為r，

∵OA⊥CD，

∴DF=FC=，

在RT△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=，OF=r﹣3，OC=r，

∴r2=（r﹣3）2+（）2 ，

∴r=4，

∴⊙O的周長為8π．

（2）證明：∵OA⊥CD，

∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90°

∴∠ADC=∠ACD，

∵∠E=∠ACD，

∴∠ADC=∠E，

∴CD∥EB，

∴∠AFD=∠ABE=90°，

∴BE是⊙O的切線．