Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸；

（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=x+4．（3）Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；

（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數法求出直線BD的解析式；

（3）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．

（1）∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經過點A（-2，0），

∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，

解得：b=，

∴拋物線解析式為 y=-x2+x+4，

又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，

∴對稱軸方程為：x=3．

（2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，

∴C（0，4）；

令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，

∴A（-2，0），B（8，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：

，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x+4．

∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，

可設點Q（3，t），則可求得：

AC=，

AQ=，

CQ=．

i）當AQ=CQ時，有=，

25+t2=t2-8t+16+9，

解得t=0，

∴Q1（3，0）；

ii）當AC=AQ時，有

t2=-5，此方程無實數根，

∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；

iii）當AC=CQ時，有，

整理得：t2-8t+5=0，

解得：t=4±，

∴點Q坐標為：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．