Question

【題目】課題學習：矩形折紙中的數學實踐操作：折紙不僅是一項有趣的活動，也是一項益智的數學活動．數學課上，老師給出這樣一道題將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B落在矩形所在平面內，B'C和AD相交于點E，如圖1所示．

探素發現：

（1）在圖1中，①請猜想并證明AE和EC的數量關系；②連接B'D，請猜想并證明B'D和AC的位置關系；

（2）第1小組的同學發現，圖1中，將矩形ABCD沿對角線AC翻折所得到的圖形是軸對稱圖形．若沿對稱軸EF再次翻折所得到的圖形仍是軸對稱圖形，展開后如圖2所示，請你直接寫出該矩形紙片的長、寬之比；

（3）若將圖1中的矩形變為平行四邊形時（AB≠BC），如圖3所示，（1）中的結論①和結論②是否仍然成立，請直接寫出你的判斷．

拓展應用：

（4）在圖3中，若∠B＝30°，AB＝2，請您直接寫出：當BC的長度為多少時，△AB'D恰好為直角三角形．

Answer 1

【答案】探素發現：（1）①EA＝EC，見解析；②DB′∥AC那就繼續；（2）AB：AD＝1：1，AD：AB＝；（3）仍然有EA＝EC，DB′∥AC；拓展應用：（4）BC的長為或或2或.

【解析】

（1）①想辦法證明∠EAC＝∠ECA即可判斷AE＝EC．

②想辦法證明∠ADB′＝∠DAC即可證明．

（2）①當AB：AD＝1：1時，符合題意．②當AD：AB＝時，也符合題意，

（3）結論仍然成立，證明方法類似（1）．

（4）先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，分四種情形分別討論求解即可解決問題.

解：（1）如圖1中，

①結論：EA＝EC．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∴EA＝EC．

②連接DB′．結論：DB′∥AC．

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AD＝BC＝CB′，

∴ED＝EB′，

∴∠EB′D＝∠EDB′，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠EB′D＝∠EAC，

∴DB′∥AC．

（2）如圖2中，

①當AB：AD＝1：1時，四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，

∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′＝AF，

此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．

②當AD：AB＝時，也符合題意，

∵此時∠DAC＝30°，

∴AC＝2CD，

∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，

∴此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．

（3）如圖3中，當四邊形ABCD是平行四邊形時，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∴EA＝EC．

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AD＝BC＝CB′，

∴ED＝EB′，

∴∠EB′D＝∠EDB′，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠EB′D＝∠EAC，

∴DB′∥AC．

（4）①如圖3﹣1中，當∠AB′C＝90°時，易證∠BAC＝90°，

BC＝．

②如圖3﹣2中，當∠ADB′＝90°時，易證∠ACB＝90°，BC＝ABcos30°＝．

③如圖3﹣3中，當∠DAB′＝90°時，易證∠B＝∠ACB＝30°，

BC＝2ABcos30°＝2．

④如圖3﹣4中，當∠DAB′＝90°時，易證：∠B＝∠CAB＝30°，

BC＝，

綜上所述，滿足條件的BC的長為或或2或.