Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P在劣弧BC上（不與點B，C重合）．

（1）如圖1，若PA是⊙O的直徑，則PA______PB+PC（請填“＞”，“=”或“＜”）

（2）如圖2，若PA不是⊙O的直徑，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請說明理由：如果成立，請給出證明．

（3）如圖3，若四邊形ACPB的面積是16．

①求PA的長；

②設y=S△PCB+S△PCA，求當PC為何值時，y的值最大？并直接寫出此時⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）結論仍然成立，理由見解析．（3）①PA=8，②PC=5，y的值最大，△ABC的外接圓的半徑為 ．

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形，⊙O是△ABC的外接圓，PA是直徑，得PC=PA，PB=PA；（2）根據等邊三角形的性質和判定，可證△CBE≌△ABE（SAS），PC=AE，故PA=PE+AE=PB+PC；（3）①如圖3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N．根據S四邊形ACPB=S△PAC+S△PAB得16=PACM+PABN，根據三角函數得CM=PCsin60°，BN=PCsin60°，故16=PA（PB+PC），PA2=64；②設PC=x，則PB=8-x，

由y=S△PCB+S△PCA=PCPBsin60°+8PCsin60°，得y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+，根據二次函數二次函數最值性質和勾股定理可求解.

解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，⊙O是△ABC的外接圓，PA是直徑，

∴PA平分∠BAC，∠ACP=∠ABP=90°，

∴∠PAC=∠PAB=×60°=30°，

∴PC=PA，PB=PA，

∴PA=PB+PC．

故答案為=．

（2）結論仍然成立．

理由：如圖2中，在PA上取一點E，使得PE=PB．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠APB=∠ACB=60°，

∵PE=PB，

∴△PBE是等邊三角形，

∴∠PBE=∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠CBP，

∵BC=BA，BP=BE，

∴△CBE≌△ABE（SAS），

∴PC=AE，

∴PA=PE+AE=PB+PC．

（3）①如圖3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N．

∵S四邊形ACPB=S△PAC+S△PAB，

∴16=PACM+PABN，

∵∠APC=∠ABC=60°，∠APB=∠ACB=60°，

∴CM=PCsin60°，BN=PCsin60°，

∴16=PA（PB+PC），

∵PB+PC=PA，

∴PA2=64，

∵PA＞0，

∴PA=8．

②設PC=x，則PB=8-x，

∵y=S△PCB+S△PCA=PCPBsin60°+8PCsin60°，

∴y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+，

∵-＜0，

∴x=5時，y有最大值，

∴PC=5，CM=，PM=，AM=，

在Rt△ACM中，AC==7，

∴△ABC的外接圓的半徑為．