Question

【題目】如圖，己知AB是⊙O 的直徑，C是⊙O 上一點，∠ACB的平分線交⊙O 于點D，作PD∥AB，交CA的延長線于點P．連結AD，BD．

求證：（1）PD是⊙O 的切線；

（2）△PAD△DBC.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）根據角平分線的定義得出∠1=∠3，得出弧AD=弧BD，根據垂徑定理可得出OD⊥AB，再根據PD∥AB，就可證得OD⊥PD，即可得證；

（2）根據圓內接四邊形的定理，可證得∠2=∠CBD，再根據圓周角定理及等腰直角三角形的性質，可證得∠ADP=∠1，然后根據相似三角形的判定定理，可證得結論.

（1）證明：如圖，連接OD

∵CD平分∠ACB

∴∠1=∠3

∴弧AD=弧BD

∴OD⊥AB

∵PD∥AB

∴OD⊥PD

∵OD是半徑

∴PD是⊙O的切線

（2）證明：∵四邊形ADBC是圓的內接四邊形，

∴∠CAD+∠CBD=180°

∵∠2+∠CAD=180°

∴∠2=∠CBD

∵AB是圓的直徑

∴∠ADO+∠BDO=90°，∠1+∠3=90°，即∠1=45°

∵弧AD=弧BD，OD⊥AB

∴AD=BD

∴∠ADO=45°

∵∠ADO+∠ADP=90°

∴∠ADP=45°=∠1

∴△PAD∽△DBC