Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，點P是邊AB上一動點，連接PD，PE，則PD+PE的最小值為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據正方形的性質得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，連接FO交AB于P，交⊙O于E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBE＝90°，

∵∠ABE＝∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴點E在以BC為直徑的半圓上移動，

如圖，設BC的中點為O，

作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，

則點D的對應點是F，

連接FO交AB于P，交半圓O于E，

則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，

∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，

∴OG＝9，

∴OF＝＝，

∴EF＝，

故PD+PE的長度最小值為，

故答案為：．