Question

【題目】 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是邊AB上一點，且AE＝2EB，點P是邊BC上一動點，連接EP，過點P作PQ⊥PE交射線CD于點Q．若點C關于直線PQ的對稱點恰好落在邊AD上，則BP的長為_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

過點P作 PF⊥AD于點F，可證得四邊形CPFD是矩形，可證得△BEP∽△CPQ和△PFC'∽△C'DQ，從而得，，可設設BP=x，則DF=PC=4-x，可求得CQ，繼而可求得C'D，FC'與BP的關系，而DF=C'D+FC'，通過解一元二次方程，解得x，即可求得BP．

如圖，過點P作 PF⊥AD于點F

∴∠PFC＝90°

∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4

∴∠FAB＝∠B＝∠C＝∠QDC'＝90°，CD＝AB＝3

∴四邊形CPFD是矩形

∴DF＝PC，PF＝CD＝3

∵AE＝2EB

∴AE＝2，EB＝1

設BP＝x，則DF＝PC＝4﹣x

∵點C與C'關于直線PQ對稱

∴△PC'Q≌△PCQ

∴PC'＝PC＝4﹣x，C'Q＝CQ，∠PC'Q＝∠C＝90°

∵PE⊥PQ

∴∠BPE+∠CPQ＝90°

∵∠BEP+∠BPE＝90°

∴∠BPE＝∠CPQ

∴△BEP∽△CPQ

同理可得：△PFC'∽△C'DQ

∴，，

∴CQ＝＝x（4﹣x）

∴C'Q＝x（4﹣x），DQ＝3﹣x（4﹣x）＝x2﹣4x+3

∴

∴C'D＝3x，FC′＝

∵FC'+C'D＝DF

∴+3x＝4﹣x

解得x＝1或x＝

故答案為1或