Question

【題目】如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．

（1）觀察猜想：線段與線段的數量關系是 ；

（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：

（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形全等的判定定理與性質即可得；

（2）如圖（見解析），過點分別作，垂足分別為，證明方法與題（1）相同；

（3）如圖（見解析），過點分別作，垂足分別為，先同（2）求出，從而可證，由相似三角形的性質可得，再根據平行線的性質和相似三角形的性質求出的值，即可得出答案.

（1），理由如下：

由直角三角板和正方形的性質得

在和中，

；

（2）成立，證明如下：

如圖，過點分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形

由正方形對角線的性質得，為的角平分線

則

在和中，

；

（3）如圖，過點分別作，垂足分別為

同（2）可知，

由長方形性質得：

，即

在和中，

.