Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P為射線AB上一個動點，過P作PF⊥AC，垂足為F，交CD于點G，連接CP與BF交于點H，過點C，P，F作⊙O．

（1）當AP=5時，求證：∠CPB=∠FBC．

（2）當點P在線段AB上時，若△FCH的面積等于△PBH面積的4倍，求DG的長．

（3）當⊙O與△ADC的其中一邊相切時，求所有滿足條件的AP的長．

（4）當H將線段CP分成1：4的兩部分時，求AP的長(直接寫出結果)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3） 或8或 ；（4）AP=5或AP=20

【解析】

（1）利用已知易證△AFP∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例，可得到AC的長，再證明CF=CB，然后利用圓周角定理可證得結論；

（2）利用相似三角形的性質，可證得CF=2PB，設AP=5m，則AF=4m，用含m的代數式表示出PB，CF的長，據此可建立關于m的方程，解方程求出m的值，即可得到AP，AF，CF的長，再利用相似三角形的對應邊成比例，可求出CG的長，即可得到DG的長；

（3）①F與C重合時，⊙O與AC相切；②P與B重合時，⊙O與DC相切，可以求出AP的長；③⊙O與AD相切時，設切點為K，如圖，設AP=x，分別用含x的代數式表示出PB，OK，PC的長，利用勾股定理建立關于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AP的長；

（4）分情況討論：①當點P在線段AB上時，如圖1，過點P作PM∥AC交BF于點M，設AP=5m，用含m的代數式表示出AF，CF，PB，PM的長，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的長；②當點P在線段AB的延長線上時，如圖2，過點C作CM∥AP交BF于點M，用含m的代數式表示出AF，CF，PB，PM的長，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的長.

（1）證明：∵PF⊥AC，

∴∠AFP=∠ABC=90°，

∴△AFP∽△ABC，

∴ ，

∵AB=8，BC=AD=6，

∴AC=10，

∴當AP=5時，AF=4，

∴CF=6，

∴CF=CB，

∴，

∴∠CPB=∠FBC；

（2）解：由題意可知△FCH∽△PBH，

∵△FCH的面積等于△PBH面積的4倍，

∴CF=2PB，

設AP=5m，則AF=4m，

∴PB=8-5m，CF=10-4m，

∴10-4m=2(8-5m)，

∴m=1，

∴AP=5，AF=4，CF=6，

∵△CFG∽△AFP，

∴CG=，

∴DG=；

（3）解：①F與C重合時，⊙O與AC相切，AP= ，

②P與B重合時，⊙O與DC相切，AP=8；

③⊙O與AD相切時，設切點為K，如圖，

設AP=x，則PB=8-x，OK=(8+x)

∴PC=8+x，

在Rt△PBC中，由勾股定理可以求得x=，

∴AP= ，

綜上所述，AP的長為或8或；

（4）解：AP=5或AP=20.

①當點P在線段AB上時，如圖1，過點P作PM∥AC交BF于點M，

設AP=5m，則AF=4m，CF=10-4m，PB=8-5m，

∵PH：CH=1：4，

∴PM=(10-4m)，

再由PM∶AF=PB：AB，得m=1，∴AP=5，

②當點P在線段AB的延長線上時，如圖2，過點C作CM∥AP交BF于點M，

設AP=5m，則AF=4m，CF=4m-10，PB=5m-8，

∵PH：CH=4：1，

∴CM=(5m-8)，

再由CM：AB=CF：AF，得m=4，∴AP=20.