Question

【題目】解題時，最容易想到的方法未必是最簡單的，你可以再想一想，盡量優化解法．

例題呈現

關于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均為常數，a≠0），則方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是　 ．

解法探討

（1）小明的思路如圖所示，請你按照他的思路解決這個問題；

小明的思路

第1步 把1、－2代入到第1個方程中求出m的值；

第2步 把m的值代入到第1個方程中求出的值；

第3步 解第2個方程．

（2）小紅仔細觀察兩個方程，她把第2個方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1個方程中的“x”，則“x＋2”的值為　 ，從而更簡單地解決了問題．

策略運用

（3）小明和小紅認真思考后發現，利用方程結構的特點，無需計算“根的判別式”就能輕松解決以下問題，請用他們說的方法完成解答．

已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有兩個相等的實數根，其中a、b、c是△ABC三邊的長，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】（1）x1＝－1，x2＝－4 （2）1或－2 （3）直角三角形

【解析】

（1）根據題意利用待定系數法求解即可.

（2）把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．

（3）先根據有兩個相等的實數根，再根據根于系數的關系列出方程，找到a、b、c的關系，從而判斷三角形的形狀．

（1）解：將x1＝1，x2＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，

得 ，

∴ m＋1＝±(m－2)，

解得 m＝

∴ a(＋1)2＋b＝0．

∴ －＝

第2個方程可變形為(x＋＋2)2＝－，

即(x＋)2＝，

解得：x1＝－1，x2＝－4

（2）關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均為常數，a≠0）；

（3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0，

∴ 方程必有一根是x＝1

∴ 方程的兩根為x1＝x2＝1．

∴ x1·x2＝1＝ ．

∴ a2＝b2＋c2．

∴ △ABC是一個直角三角形