Question

【題目】如圖：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°

求證：（1）△PAC∽△BPD；

（2）若AC=3，BD=1，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，從而即可證明；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解．

證明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，

∴∠APC+∠BPD=45°，
又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，

∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
∵∠PCA=∠PDB，

∴△PAC∽△BPD；
（2）∵，PC=PD，AC=3，BD=1
∴PC=PD=，
∴CD=．