Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，點O是EF中點，連結BO井延長到G，且GO＝BO，連接EG，FG

（1）試求四邊形EBFG的形狀，說明理由；

（2）求證:BD⊥BG

（3）當AB＝BE＝1時，求EF的長，

Answer 1

【答案】(1) 四邊形EBFG是矩形;（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據對角線互相平分的四邊形平行四邊形可得四邊形EBFG是平行四邊形，再由∠CBF=90°，即可判斷EBFG是矩形.

（2）由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可知BD=CD,OB=OE,即可得∠C=∠CBD，∠OEB=∠OBE，由∠FDC=90°即可得∠DBG=90°；

（3）連接AE，由AB＝BE＝1勾股定理易求AE=，結合已知易證△ABC≌△EBF，得BF=BC=1+再由勾股定理即可求出EF=.

解：（1）結論：四邊形EBFG是矩形.

理由：∵OE=OF，OB=OG，

∴四邊形EBFG是平行四邊形，

∵∠ABC＝90°即∠CBF=90°，

∴EBFG是矩形.

（2）∵CD=AD，∠ABC＝90°，

∴BD=CD

∴∠C=∠CBD，

同理可得：∠OEB=∠OBE，

∵DF垂直平分AC，即∠EDC=90°，

∴∠C+∠DEC=90°，

∵∠DEC=∠OEB，

∴∠CBD+∠OBE=90°，

∴BD⊥BG.

（3）如圖：連接AE，

在Rt△ABE中，AB=BE=1，

∴AE=，

∵DF是AC垂直平分線，

∴AE=CE，

∴BC=1+

∵∠CDE=∠CBF=90°，

∴∠C=∠BFE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（AAS）

∴BF=BC，

在Rt△BEF中，BE=1，BF=1+，

∴EF=.