Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．

（1）求證：∠E=∠C；

（2）若DF=6cm，cosB=，E是弧AB的中點，求DE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE= 14．

【解析】分析：(1)直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

(2)根據cosB=，得出AB的長，即可求出AE的長，解直角三角形即可得到結論.

詳解：（1）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=12，

∵cosB=，

∴AB=20，

∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=10，

∴AE=10，

∵E是的中點，

∴∠ADE=∠BDE=45°，

∴DG=AG=ADsin45°=16×=8，EG==6，

∴DE=DG+GE=14．