Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點B1，以OB1為一邊在OB1上方作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為一邊在A1B2上方作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為一邊在A2B3上方作等邊三角形A3A2B3，…，則△A2017B2018A2018的周長是_____．

Answer 1

【答案】3×22017

【解析】分析：先根據直線l：y＝x﹣與x軸交于點B1，可得B1（1，0），OB1＝1，△OA1B1的周長為3；再過A1作A1A⊥OB1于A，過A2作A2B⊥A1B2于B，根據等邊三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質，分別求得A1的坐標為（，），B2（，），則A1B2＝2，△A1B2A2的周長是3×21，A2的坐標為（，），B3（，），則A2B3＝4，△A2B3A3的周長是3×22，進而得到△AnBn＋1An＋1的周長，據此可得△A2017B2018A2018的周長．

詳解：∵直線l：y＝x﹣與x軸交于點B1，

∴B1（1，0），OB1＝1，△OA1B1的周長為3；

如圖所示，過A1作A1A⊥OB1于A，

則OA＝OB1＝，A1A＝OA＝，

∴A1的坐標為（，），

∵A1B2平行于x軸，

∴B2的縱坐標為，

將y＝代入 y＝x﹣，求得x＝，

∴B2（，），

∴A1B2＝2，△A1B2A2的周長是3×21；

過A2作A2B⊥A1B2于B，

則A1B＝A1B2＝1，A2B＝A1B＝，

∴A2的橫坐標為OA＋A1B＝＋1＝，縱坐標為A1A＋A2B＝，

∴A2的坐標為（，），

∵A2B3平行于x軸，

∴B3的縱坐標為，

將y＝代入y＝ y＝x﹣，求得x＝，

∴B3（，），

∴A2B3＝4，△A2B3A3的周長是3×22；

由此可得，△AnBn＋1An＋1的周長是3×2n，

∴△A2017B2018A2018的周長是3×22017．

故答案為3×22017．