Question

已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．

（1）操作發現：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數量關系：　PA=PB　．

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA•PB=k•AB．

 

Answer 1

解：（1）∵l⊥n，

∴BC⊥BD，

∴三角形CBD是直角三角形，

又∵點P為線段CD的中點，

∴PA=PB．

（2）把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：

如圖②，過C作CE⊥n于點E，連接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，

∴PD=PE，

又∵點P為線段CD的中點，

∴PC=PD，

∴PC=PE；

∵PD=PE，

∴∠CDE=∠PEB，

∵直線m∥n，

∴∠CDE=∠PCA，

∴∠PCA=∠PEB，

又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，

∴l∥CE，

∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，

∴△PAC∽△PBE，

∴PA=PB．

（3）如圖③，延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，

，

∵直線m∥n，

∴，

∴AP=PF，

∵∠APB=90°，

∴BP⊥AF，

又∵AP=PF，

∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，

∴△AEF∽△BPF，

∴，

∴AF•BP=AE•BF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，

∴2PA•PB=2k．AB，

∴PA•PB=k•AB．

故答案為：PA=PB．