Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若PD=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】解：（1）證明：連接OA，

∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300。

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300。

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900。∴OA⊥PA。

∵OA是⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線。

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，

∴PO=2OA=OD+PD。

又∵OA=OD，∴PD=OA。

∵PD=，∴2OA=2PD=2。

∴⊙O的直徑為2。．

（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出

∠P=300，繼而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論。

（2）利用含300的直角三角形的性質求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直徑。