Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△ACN仍為等腰直角三角形，證明見解析．

【解析】

試題（1）由EN∥AD和點M為DE的中點可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點．

（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

（3）同（2）中的解題可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

試題解析：解：（1）證明：如圖1，

∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點M為DE的中點，∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．

∴AM=MN．∴M為AN的中點．

（2）證明：如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點在同一直線上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．證明如下：

如圖3，此時A、B、N三點在同一條直線上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．