Question

【題目】如圖，等腰直角的頂點在正方形的對角線上，所在的直線交于點，交于點，連接，. 下列結論中，正確的有_________ （填序號）.

①；②是的一個三等分點；③；④；⑤.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據△CBE≌△CDF即可判斷①；由△CBE≌△CDF得出∠EBC=∠FDC=45°進而得出△DEF為直角三角形結合即可判斷②；判斷△BEN是否相似于△BCE即可判斷③；根據△BNE∽△DME即可判斷④；作EH⊥BC于點H得出△EHC∽△FDE結合tan∠HEC=tan∠DFE=2，設出線段比即可判斷⑤.

∵△CEF為等腰直角三角形

∴CE=CF，∠ECF=90°

又ABCD為正方形

∴∠BCD=90°，BC=DC

又∠BCD=∠BCE+∠ECD

∠ECF=∠ECD+∠DCF

∴∠DCF=∠BCE

∴△CBE≌△CDF(SAS)

∴BE=DF，故①正確；

∴∠EBC=∠FDC=45°

故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90°

又

∴E是BD的一個三等分點，故②正確；

∵

∴

即判定△BEN∽△BCE

∵△ECF為等腰直角三角形，BD為正方形對角線

∴∠CFE=45°=∠EDC

∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM

∴∠MCF=∠DEM

然而題目并沒有告訴M是EF的中點

∴∠ECM≠∠MCF

∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE

∴不能判定△BEN∽△BCE

∴不能得出進而不能得出，故③錯誤；

由題意可知△BNE∽△DME

又BE=2DE

∴BN=2DM，故④正確；

作EH⊥BC于點H

∵∠MCF=∠DEM

又∠HCE=∠DCF

∴∠HCE=∠DEM

又∠EHC=∠FDE=90°

∴△EHC∽△FDE

∴tan∠HEC=tan∠DFE=2

可設EH=x，則CH=2x

EC=

∴sin∠BCE=，故⑤錯誤；

故答案為①②④.