Question

【題目】如圖①，已知等腰直角中，BD為斜邊上的中線，E為DC上的一點，且于G，AG交BD于F.

（1）求證：AF=BE.

（2）如圖②，當點E在DC的延長線上，其它條件不變，①的結論還能成立嗎？若不能，請說明理由；若能，請予以證明。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先證明AD=BD，再證明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，進而得到AF=BE；

（2）方法與（1）類似，利用AAS證明△AFD≌△BED，可得AF=BE．

（1）∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，

∴BD=ADAC，∠ADB=90°，

∴∠1+∠GAD=90°．

∵AG⊥BE于G，

∴∠2+∠DBE=90°．

∵∠1=∠2，

∴∠DAF=∠DBE．

在△AFD和△BED中，

∵，

∴△AFD≌△BED（ASA），

∴AF=BE；

（2）①的結論還能成立．證明如下：

∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，

∴BD=ADAC，∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠DEB=90°．

∵AG⊥BE于G，

∴∠GBF+∠F=90°．

∵∠DBE=∠GBF，

∴∠F=∠DEB．

在△AFD和△BED中，

∵，

∴△AFD≌△BED（AAS），

∴AF=BE；