Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，拋物線上另有一點C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的長及的值；

（2）設直線BC與y軸交于P點，當點C恰好在OP的垂直平分線上時，求直線BP和拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）2， （2）

【解析】

分析: （1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標，即可確定OA，OB的長．根據△OCA∽△OBC，可得出關于OC、OA、OB的比例關系式即可求出OC的長．

（2）利用相似三角形的對應邊成比例和勾股定理來求C點的坐標．將C點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．

詳解:

（1）由ax2-8ax+12a=0（a＜0）

得x1=2，x2=6．

即：OA=2，OB=6．

∵△OCA∽△OBC，

∴OC2=OAOB=2×6．

∴OC=2（-2舍去）．

∴線段OC的長為2．

.

（2）由題意得C是BP的中點，

∴OC=BC從而C點的橫坐標為3

又,

∴.

設直線BP的解析式為y=kx+b，過點B（6，0），，

則有

∴

∴

又點在拋物線上∴，

∴.

∴拋物線解析式為：．

點睛: 本題考查了二次函數的知識，其中涉及了數形結合問題，由拋物線求二次函數的解析式，用幾何中相似三角形的性質求點的坐標等知識．注意這些知識的綜合應用.